5 Vereinigung und Durchschnitt zweier Graphen

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5 Vereinigung und Durchschnitt zweier Graphen

Vereinigungsgraph (V1∪V2;E1∪ E2)

Alle Knoten aus beiden Graphen, sowie deren beider Kanten.

Definition: Die Vereinigung X1 ∪ X2 zweier Graphen X1 = (V1,E1) und X2 = (V2,E2) ist der Graph (V1 ∪ V2, E1 ∪ E2).

Analog ist der Durchschnitt X1 ∩ X2 definiert.

Durchschnittsgraph (V1 ∩ V2; E1 ∩ E2

Nur die gemeinsamen Knoten und Kanten der zwei Graphen zählen. Dabei kann es zu isolierten Knoten kommen, wenn ein Knoten in allen Graphen vorkommt, aber die dazugehörigen verbindenden Kanten nicht abgebildet werden dürfen, da sie nicht ident sind.

x1 ∪ x2

x1 ∩ x2

4.1 Vollständiger Graph

Ein Graph, dessen Knoten alle untereinander verbunden sind, so, dass keine weitere Verbindung mehr möglich ist, daher regulär vom Grad |V| -1 ist.

Anzahl der Kanten/Knoten = Anzahl Knoten -1
Anzahl der Kanten/Graph =

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(448)

4 Spannender und gesättigter Teilgraph

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4 Spannender und gesättigter Teilgraph

4.1 Teilgraph

Ein Teilgraph ist ein Ausschnitt aus einem Graphen, mit einer Teilmenge an Knoten dieses Graphen, wobei maximal die Kanten vertreten sein dürfen, die auch im Graphen diese Knoten verbinden. Es kann auch ein od. mehrere isolierte Knoten vorkommen.

Def.: Ein Graph X1 = (V1,E1) heißt Teilgraph von X = (V,E), wenn V1 ⊆ V und E1 ⊆ E ist.

4.2 Spannender Teilgraph

Besitzt alle Knoten des Graphen, aber nicht alle der Kanten, die diese Knoten verbinden, wie im Graphen.

Ein Teilgraph X1 von X ist ein spannender Teilgraph von X, wenn V1 = V ist.

4.3 Gesättigter Teilgraph

Teilgraph herausgeschnitten aus Graph, Knoten und alle seine Kanten, mit denen sie untereinander verbunden sind.

Äußere Knoten und deren inzidente Kanten fallen weg.

Def.: Enthält E1 alle Kanten aus E, deren Endpunkte in V1 liegen, so sagt man, dass X1 von V1 ⊆ V in X aufgespannt wird, oder dass X1 ein gesättigter Teilgraph von X ist.

4.3.1 Spannender, gesättigter Teilgraph

Ein Teilgraph ist der Graph selbst, da eine Menge seine Teilmenge sein kann.

V1 = V2

V1 = V

gesättigt + spannend = derselbe Graph ≠ der gleiche Graph

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(1014)

3 Isomorphie von Graphen

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Grundbegriffe I

3 Isomorphie von Graphen

Unterschiedliche Graphen (z.B. bei anderer Bezeichnung der Knoten) können die gleiche Struktur und Abbildung aufweisen.

* Definition: Gegeben seien X1 = (V1,E1) und X2 = (V2,E2)
Eine bijektive Abbildung φ: V1→V2 heißt ein ISOMORPHISMUS von X1 auf X2, wenn gilt: [x,y] ⇔ [φ(x), φ(y)] ∈ E2; X1 ≈ X2

3.1 Eigenschaften fon Abbildungen

Die Abbildung f:X→Y kann folgende Eigenschaften haben:

  • injektiv: x1y2(x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2)) |B| ≥ |A|

    jedes Element der Urmenge wird genau einmal in der Zielmenge abgebildet, wobei Elemente in der Zielmenge möglich sind die kein Urbild haben;
  • surjektiv: xy∨(f(x)=y) |B| ≤ |A|
    jedes Element der Urmenge wird einmal oder öfter in der Zielmenge abgebildet, wobei Elemente in der Zielmenge ohne Urbild nicht möglich sind;
  • bijektiv: a ∧ b |B| = |A|
    Jedes Element der Zielmenge hat genau ein Urbild und umgekehrt, d.h. bijektiv ist injektiv verknüpft mit surjektiv z.B.:
    φ (a ◦ b) = φ (a) ∧ φ (b) → φ (a * b) = φ (a) + φ (b)
    log (a*b) = log (a) + log (b)

    f:x→y
    3Isomo1
    3Isomorphie1

    operationentreue Abbildung
    z.B.: log(a*b) = log a + log b
    bijektive Abbildung der Elemente und der Funktionen
    p ∧ q ⇔ ¬( ¬p v ¬q)
    Entsprechungen:
    ∩∪‘
    ∧∨¬
    3Isomorphie1

  • isomorph
    (bijektiv + strukturerhaltende Abbildung)
    Urbildmenge – Bildmenge:

    • Gleiche Anzahl von Elementen (Knoten u. Kanten)

    • Gleicher Knotengrad

    • Strukturerhaltung, Nachbarschaften (Abbildungen können unterschiedlich sein)

    Bijektive Abblidung zwischen 2er Graphen:

    1. 1.Abbildung muß umkehrbar eindeutig sein

    2. 1.wenn ein Knoten im 1. Graphen existiert, genau dann muß er auch im 2. Graphen existieren

3.2 Vorraussetzung

Die Anzahl der Knoten, Knotengrade und Kanten ist gleich.

3Isomo20

Der gleiche Graph und doch nicht der selbe (gleiche Struktur). Wegen bijektiver Abb. folgt, daß die gleiche Anzahl an Knoten vorhanden sein müssen.

3Isomo7

x            y            z

3Isomo8

X ≈ Y
X und Y sind isomorph.

Beispiel 2:
X1 = ({1,2,3,4,5,6,7}, {[1,2],[1,4],[1,5],[2,3],[2,6],[3,4],[3,7],[4,5],[5,6],[5,7],[6,7]})
X2=({A,B,C,D,E,F,G},[G,F],[E,F],[G,D],[D,E],[C,F],[E,B],[B,C],[A,G], A,D],[A,C],[A,B]})

3Isomo10

Der Knoten 5 bzw. A hat den Grad 4.

Permutation – wenn Nachbarschaftsbeziehungen bekannt sind kann nähere Auswahl getroffen werden.
.) Knoten betrachten die bes. Grad aufweisen.
.) Knoten mit best. Grad müssen gleich sein.
.) Knoten mit bes. Grad suchen und dann die Nachbarschaftsbeziehungen feststellen.
Tabelle:

1 D G D G
2 E E F F
3 F F E E
4 G D G D
5 A A A A
6 B B C C
7 C C B B

Aufgabe:

3Isomo13

3Isomo12

3Isomo11
3Isomo12
3Isomo13

a
b k k
c j l
d
e
f
g o o
h

daher: X¬≅Y

a u
b t
c s
d r
e q
f x
g w
h v

daher: X≅Z
→ Z¬≅Y

weiteres Beispiel zur Isomorphie:

3Isomo14
3Isomo15

Bei isomorphen Graphen gilt, dass für alle Verknüpfungen der Urbildmenge auch die Verknüpfungen der Bildmenge dasselbe Ergebnis ergeben.

3.2.1 Notwendige Bedingungen für Isomorphismus

  1. Anzahl Kanten gleich
  2. Anzahl Knoten gleich
  3. gleicher Knotengrad

Diese Bedingungen sind notwendig, aber noch nicht hinreichend für einen Isomorphismus.

3.2.2 Algrorithmus für Feststellung von Isomorphismus

  1. beginnend bei einem, aufgrund seines Knotengrades, eindeutigen Knoten, abbilden
  2. fortsetzend, unter Einhaltung der Nachbarschaftsbeziehung, abbilden
  3. Lösung von Isomorphismus mit kurzen Stichworten beschreiben
  4. wenn ein Graph x nicht isomorph mit einem von 2 miteinander isomorphen Graphen ist, so kann er es auch nicht mit dem 2. Graphen sein

3Isomo16

3.2.3 Adjazenzmatrix A(x) (Nachbarschaftsmatrix)

3Isomo17
wenn der Knoten i mit dem Knoten j über eine Kante verbunden ist, dann erfolgt der Eintrag 1 ansonst 0.

Bei der Adjazenzmatrix-Darstellung werden die Knoten als Indexwerte einer 2-dimensionalen Matrix A aufgefasst.
Wenn der Knoten v adjazent zum Knoten w ist, wird das Feld A[v,w] in der Matrix gesetzt (z.B. 1 als „true-Wert“, etc.).
Die Adjazenzmatrix ist:

  • gut für kleine Graphen oder Graphen mit vielen Kanten
  • gut für die Überprüfung von Adjazenzeigenschaft
  • dfs schlecht, Rechenaufwand O(|V|2)
  • quadratischer Speicheraufwand O(|V|2)

3.2.4 Verschiedene Matrizenformen und deren Bedeutung

Hauptdiagonale 0 – Graph weist keine Schlingen auf
Hauptdiagonale 1 – von einem Knoten kommt man über eine spezielle Kante wieder auf den selben Knoten
Symetrische Matrix – wenn die Matrix über die Hauptdiagonale gespiegelt werden kann, handelt es sich um einen ungerichteten Graphen
Asymetrische Matrix – es liegt ein gerichteter Graph vor

3.2.5 Anordnung und Prüfung auf Isomorphismus zweier Matrizen

  1. ordnen beider Matrizen nach Knotengrad der Knoten, höchste Knotengrade zuerst
  2. prüfen ob Isomorphismus nachgewiesen werden kann und ausgeben wenn Isomorphismus besteht
  3. vertauschen der Indizes (gleichweiser Spalten- u. Zeilentausch) der 2. Matrix innerhalb der Knotengrade
  4. inklusive der letzten möglichen Vertauschung, weiter bei Pkt. 2, ansonst ENDE
A(x) A B C D E F
A 0 1 0 0 0 0
B 1 0 1 0 0 0
C 0 1 0 1 0 0
D 0 0 1 0 1 1
E 0 0 0 1 0 0
F 0 0 0 1 0 0
A(z) M N O P Q R
M 0 1 0 0 0 0
N 1 0 1 1 0 0
O 1 0 0 0 0 0
P 0 1 0 0 1 0
Q 0 0 0 1 0 1
R 0 0 0 0 1 0

Der Index der Matrix A(z) wird nun solange vertauxcht, bis alle Möglichkeiten ausgeschöpft sind.

A2(z) M N O P Q R
M 0 0 0 1 0 0
N 0 0 0 1 1 0
O 0 0 0 1 0 0
P 1 1 1 0 0 0
Q 0 1 0 0 0 1
R 0 0 0 0 1 0

3.2.6 Mehrfach-ISOMORPHISMUS

Mehrfach-Isomorphismus liegt dann vor, wenn mehrere Graphen
eindeutig umkehrbar abbildbar sind.

Die beiden Graphen scheinen sehr unterschiedlich zu sein,
dennoch sind sie im Sinne der Graphentheorie strukturgleich. Man kann bijektive
Abb. der Eckenmenge angegeben, die die Inzidenzbeziehungen
respektiert. Man spricht von isomorphen Graphen. Das top. Bild eines top.
Graphen führt stets zu einem isomorphen Graphen.

3Isomo19

3Isomo18
3Isomo19


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(1601)

Knoblauch-Yoga

Zehe hin – Zehe her.
Das Buch, dass er sich genau ansehen würde, bevor er es nicht kaufte „Reich, jung und schön mit Hata-Yoga“ hat H. David Coulter, der Autor des vortrefflich gelungenen Buches „Anatomie des Hatha Yoga“, angeblich noch nicht gesehen. Ein international anerkannter Yoga-Guru, sein Name ist mir entfallen, meinte unlängst, dass Yoga-Schulen, -Richtungen und -Stile aus dem Boden schießen, wie die Schwammerl im Wald und er verkündete mit diplomatischen Worten sinngemäß, dass die meisten ungenießbar, aber trotzdem nicht giftig wären.
Ich will jetzt keinen einzigen Begriff in den Raum stellen, sei es Fußbadekundalini-, Fingerkuppenpower- oder Zungenkrauldynamik-Yoga mit Musik, da ich nur ein Laie mit ausgezeichneter Unkenntnis bin.
Da Yoga aber in jedem Fall, den Körper mit der Seele verbinden soll und ich zumindest einen Körper habe und je nach Definition, mich sogar zu meiner Seele bekenne, habe ich zwangsläufig auch Yoga-Kentnisse, die mir niemand absprechen kann, es sei denn, er/sie kennt mich besser, als ich mich selbst.

Wikimedia: Pivari
Wikimedia: Pivari

Ursprünglich wollte ich mir von Yoga eigentlich nur Anleihen holen, um in Taijiquan bessere Fortschritte zu erzielen, inzwischen beschäftige ich mich aber schon mehr mit Yoga, als mit TCC. Es gibt da einfach so unglaublich viele gute Anregungen, Weisheiten, … Steigerung der Lebensqualität ….. bin dadurch auch zum Vegetarier geworden …, aber von einem haben die meisten Yogis, meiner Meinung nach, absolut keine Ahnung. Nämlich vom göttlichen Wuderheilmittel und Lebenselexier Knoblauch.
Entzündungen, Zahnschmerz, Müdigkeit, Angeschlagenheit, burn out or in, Antriebslosigkeit, Depressionen, Gedächtnisschwäche, … –> Knoblauch hilft mir immer. Ja, mir natürlich besonders bei Gedächtnisschwäche, das ist schon klar. Außerdem schmeckt er fantastisch, dafür lasse ich jedes andere chinesische, indische, koreanische, russische, amerikanische, ägyptische und europäische (Aufzählung nach weltweiter Produktion) Gewürz und Gemüse aus dem gesamten asiatischen Raum – selbst wenn man manche davon schon fast wie Gold handelt – in meinem Regal und das ist meiner Meinung nach, wirklich reichlich gefüllt, mit Kostbarkeiten der Natur aus aller Welt.

Dickes Prana hin – dünnes Chi her, ohne Knoblauch könnte ich nicht leben, sondern höchstens kränkelnd dahinvegetieren, aber die Menschen scheinen eben doch verschieden zu sein und das riecht man natürlich auch.
Bei ausreichender Körperpflege, also zumindest einmal duschen am Tag und nach extremen Knoblauchexzessen vielleicht sogar unter Verwendung von Seife oder Duschgel, ist mir persönlich die knoblauchartige Ausdünstung oder ein lauchartiger Atem aber bei weitem angenehmer, als der, für meine Nase, penetrante Gestank der meisten Parfüms.

Kann ja sein, dass Knoblauch soviel Lebensenergie spendet, dass es manchen Menschen einfach zu viel ist und sie selbst bei geringer Dosis (ein paar Zeherl am Tag) die Energieleitbahnen, mögen es nun Nadis oder Meridiane sein, einfach zu schwach sind für diese Power und dadurch nervös, unkonzentriert und zittrig werden, aber ich verzichte deshalb sicher nicht auf mein kaltes Erbsenpüree, also Humus mit meiner Olivenöl-Knoblauch-Mixture, als Aufstrich Nummer Eins.
Ich kenne die Bestandteile des Knoblauchs nicht, sondern nur ihre Wirkung auf mich und diese möchte ich nicht missen, obwohl ich sicher keine Knoblauchkapseln brauche.

Selbstverständlich ist das jedem seine Sache, ob er einfach alles glaubt was man ihm sagt, aber ich weiß für mich bei Knoblauch aus eigener langjähringen Lebenserfahrung, dass er mir sehr gut tut und ich sicher nicht, aus welchen Gründen auch immer, auf dieses Geschenk der Natur verzichten werde. Was in der Sahara für die meisten (nicht alle) Menschen gesund und gut sein mag, muss für die meisten Menschen am Nordpol nicht ebenso bekömmlich sein.

Wie dem auch sei, mir stinkt es, dass mir manche Yogis, Knoblauch als tamasisch vergraulen wollen, daher gründe ich ein neues Knoblauch-Yoga mit Schwerpunkt auf Zehen-Asanas und Meditation in der Knofihütte. Meine Leser wissen, dass das natürlich nur ein Witz war. 😉

Weblinks:

https://www.yoga-bracun.at/blog/allgemeines/das-wundermittel-knoblauchsirup-rezept-und-zubereitung.html
https://www.yoga-shop.at/Knoblauch-Bio-42-g-60-Kapseln muss ja nicht sein
https://de.wikipedia.org/wiki/Knoblauch
https://www.knobi.com/knoblauch-linktipps.html
https://www.knobi.com/
https://lexikon.huettenhilfe.de/gewuerze/knoblauch/knoblauch-in-der-heilkunde.html
https://www.yoga-vidya.de/de/service/forum/read.php?10,588,596#msg-596
https://www.yogapad.de/forum/topics/zwiebeln-und-knoblauch-ja-oder?commentId=2015507%3AComment%3A21367
https://www.yoga-welten.de/yoga-einfuehrung/yogische-ernaehrung.htm

(560)

Jnana Yoga, einer der 4 Wege des Yoga

Letztens habe ich „8 * 8 = 88 -(8+8+8)“geschrieben und verschwiegen, dass ein Byte 8 Bit hat und ein Bit Yin oder Yang, oh, ich meinte wahr oder falsch bedeuten kann, also 2 Zustände möglich sind (auch technisch). Also immer wieder das gleiche duale Prinzip. Vom Wuji oder Tao über Yin und Yang oder ein Bit zum Byte. Nur das Halbbyte findet mir zu wenig Beachtung, daher schreibe ich heute über einen der 4 (4 * 4 = 44 -(4+4+4+4+4+4+4) LOL – Yogawege, nämlich Jnana Yoga.
Was einem Taijiquan übenden Laozi und das Daodejing bedeuten mag, könnten einem Yogi die Upanishaden sein.
Zu Laozis Zeiten (habe hier schon öfter über taoistische Themen geschrieben) entstand südlich von China, also in Indien die Veda mit den Upanishaden. Eine Gruppe dieser Schriften sind die Yoga-Upanishaden. Soviel zur Vorbemerkung, auf die Upanishaden komme ich später noch einmal zurück, aber an dieser Stelle möchte ich aus der Wikipedia zitieren:

Der deutsche Philosoph Arthur Schopenhauer empfand die Upanishaden als „belohnendeste und erhebendeste Lektüre, die […] auf der Welt möglich ist: sie ist der Trost meines Lebens gewesen und wird der meines Sterbens sein.“[4]

Jnana Yoga (Yoga der Erkenntnis) ist neben Raja-, Bhakti- und Karma-Yoga also einer der 4 Wege im Yoga.

Dazu ein längeres Zitat aus Wikipedia (inklusive Originallinks) zu den Mitteln des Jnana Yogas:

Das Vorgehen des Schülers, das zu seiner Erlösung führt, wird durch die „vier Mittel der Erlösung“ (Sadhana Chatushtaya), die aufeinander aufbauen, beschrieben.

  • Viveka — Unterscheidung zwischen Realität – das was unveränderlich ist – (Brahman) und Illusion – das was vergänglich ist – (Maya)
  • Vairagya –Abneigung gegenüber weltlichen Dingen (u.a. Überwindung niederer Triebe), Loslösung von dem, was als vergänglich erkannt wurde.
  • Shad-sampat — Die sechs Tugenden: Sama (Geisteskontrolle), Dama (Sinneskontrolle), Uparati (Entsagung von schädlichen Handlungen), Titiksha (Ausdauer), Shraddha (Glaube), Samadhana – (innere Sammlung, Eins-Gerichtetheit des Geistes) helfen dabei, Loslösung und Unterscheidung zu erreichen.
  • Mumukshutva — der intensive Wunsch zur Befreiung und Erkenntnis ist die treibende Kraft. Es ist der letzte Wunsch, der alle anderen Wünsche ersetzt, aber letztlich auch aufgegeben werden muss, um Befreiung zu erreichen.

Die Wahrheit wird durch die vier Mahavakyas (große Sprüche, die die Quintessenz der Upanishaden sind) ausgedrückt:

  1. Tat tvam asiDu bist DAS – Brahman – die Realität. (Chandogya Upanishad 6.8.7, Samaveda, Kaivalya Upanishad)
  2. Aham brahmasmiIch bin Brahman (Brihadaranyaka Upanishad 1.4.10, Yajurveda, Mahanarayana Upanishad)
  3. Ayam atma brahmaDas individuelle Selbst (Atman) und die Weltseele (Brahman) sind eins (Mandukya Upanishad 1.2, Atharvaveda)
  4. Prajnanam brahmanBewusstsein ist Brahman (Aitareya Upanishad 3.3, des Rigveda)

Besonders interessant finde ich dazu den Artikel „Jnana Yoga / Vedanta-Philosophie: Die drei Körper und fünf Hüllen“ von Sukadev Bretz.
Was fällt mir da sofort auf? Das die Fünf-Elemente-Lehre (chin. 五行 wŭxíng = Fünf Wandlungsphasen) eine daoistische Theorie zur Naturbeschreibung, anscheinend nicht nur in China bekannt war.
Ob Prana oder Chi, Meridian oder Nadi, mir fällt dazu spontan ein die Figuren einer Taijiquan-Form sind Asanas und das Sonnengebt ist umgekehrt eine Kurzform. Ob Stehmeditation oder im Sitzen, ob Asanas oder Stellungen in der Taijiquan-Form, die enge Verwandtschaft ist nicht zu übersehen und obwohl TCC eine Kampfkunst ist, so ist dort die innere Ruhe und der Frieden ebenfalls ein erstrebenswerter Zustand. „Harmonie“ und „loslassen“ sind sowohl Zauberwörter für Yogis, als auch für Taijiquan übende.
Anderer Titel und Anfang und ein Ende wie immer. Ich glaube, allmählich kann ich das Schreiben sein lassen, denn ich komme ohnehin immer zum gleichen Schluss. Naja, sage ich mir eben, der Weg ist das Ziel, um so dieser Peinlichkeit zu entgehen.

(2209)