Archiv der Kategorie: Mathematik

Linux für Kinder – Edubuntu, Childsplay

Wer Ubuntu auf seinem Rechner hat, kann auf Ubuntu-Software mit einem Klick „Childsplay“ installieren und hat schon ein paar Spiele für die Kleinsten bereit. Siehe auch auf childsplay.


Wenn das Kind dann ins Vorschulalter kommt, kann ich nur Edubuntu empfehlen.

Auf Edubuntu Programme bekommen Sie einen Überblick über das Angebot der enthaltenen Programme.

Unter anderem sind das die Programme für

Astronomie & Geographie:

Chemie

Grafik und Konstruktion

Mathematik

Physik

Das neben den erwähnten Programmen auch alle anderen Linux-Hilfsmittel und -Programme verwendet werden können, versteht sich von selbst, egal ob Sie jetzt einen Farbpicker, ein Wörterbuch, Text2Speach, Tipptrainer, Lernspiele oder sonst irgend etwas benötigen. Mir fällt da zum Beispiel gerade Oregano oder die Seite Schaltungssimulation als Fundgrube oder kleine Schatztruhe ein.

Es lohnt sich für Interessierte vielleicht auch, einen Blick auf KDE-Education zu werfen und natürlich auf https://www.edubuntu.org/.

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Beweise, vollständige Induktion

Ein paar Anmerkungen zum mathematischen Beweis und zur vollständigen Induktion.
Auf den Gödelschen Unvollständigkeitssatz werde ich hier nicht eingehen, obwohl es einer der wichtigsten Sätze der modernen Logik ist und mir darüber hinaus auch sehr gut gefällt, dass ich nicht ableitbar bin.
Nach der Wikipedia ist ein Beweis:

Ein Beweis ist in der Mathematik die als fehlerfrei anerkannte Herleitung der Richtigkeit bzw. der Unrichtigkeit einer Aussage aus einer Menge von Axiomen, die als wahr vorausgesetzt werden, und anderen Aussagen, die bereits bewiesen sind.

Die Peano-Axiome (auch Dedekind–Peano-Axiome oder Peano-Postulate) sind fünf Axiome, welche die natürlichen Zahlen und ihre Eigenschaften charakterisieren.
Aus der Wikipedia:

  1. 0 \in \N
  2. n \in \N \Rightarrow n'\in \N
  3. n \in \N \Rightarrow n'\not= 0
  4. m,n\in\N \Rightarrow (m' = n' \Rightarrow m = n)
  5. 0\in X \and \forall n\in \N \colon (n\in X \Rightarrow n'\in X) \Rightarrow \N \subseteq X

Das letzte Axiom heißt Induktionsaxiom, da auf ihm die Beweismethode der vollständigen Induktion beruht. Es ist äquivalent zur Aussage, dass jede Menge natürlicher Zahlen ein kleinstes Element hat. Auch garantiert es, dass Peanos rekursive Definitionen der Addition und Multiplikation auf\N überhaupt wohldefiniert sind:[3]

n+ 0 := n\,
n+ m' := (n + m)'\,
n \cdot 0:= 0
n \cdot m':= (n \cdot m) + n

Die Eins definierte Peano als Nachfolger der Null:[4]

1:=0'\,

 

Ein Satz oder Theorem ist in der Mathematik eine widerspruchsfreie logische Aussage, die mittels eines Beweises als wahr erkannt, das heißt, aus Axiomen und bereits bekannten Sätzen hergeleitet werden kann.
Ein Satz wird nach seiner Rolle, seiner Bedeutung oder seinem Kontext oft auch anders bezeichnet:
Ein Lemma ist eine Aussage, die als Hilfssatz nur im Beweis anderer Sätze verwendet wird.
Ein Korollar ist eine triviale Folgerung, die sich aus einem Satz oder einer Definition ohne großen Aufwand ergibt.
Der Satz im engeren Sinn gibt eine wesentliche Erkenntnis wieder.

Als Deduktion (deducere – ableiten, weiterführen) bezeichnet man die Folgerung einer besonderen Aussage aus einer allgemeinen. Die Deduktion liefert stets wahre Aussagen.
Jeder Autofahrer hat einen Führerschein. (allgemeine Aussage)
Hansi fährt mit dem Auto.
Hansi hat einen Führerschein. (besondere Aussage)

Als Induktion (inducere – einführen) bezeichnet man den das Erschließen einer allgemeinen Aussage aus Einzelaussagen. Die Induktion kann zu wahren oder falschen Aussagen führen. Es muss jeder Einzelfall auf Wahrheitswert überprüft werden, oder es wird ein Beweis geführt, um die Richtigkeit der Schlussfolgerung festzustellen.

Die vollständige Induktion

gründet sich auf das Induktionsaxiom (siehe oben):
Jede Teilmenge X der Menge der natürlichen Zahlen, die die Zahl 1 und mit jeder Zahl n stets ihren Nachfolger n +1 enthält, ist die Menge der natürlichen Zahlen.
1) 1 ∈ X
2) ∀n∈N:n∈X⇒(n+1)∈X
Daraus folgt X=N

Beweisverfahren der vollständigen Induktion:
Beispiel: ermitteln Sie die Summer der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen!
A1: s1 = 1 …… = 1 = 1²
A2: s2 = 1 +3 … = 4 = 2²
A3: s3 = 1 +3 +5 = 9 = 3²
Es ergibt sich die Vermutung, dass sich für jedes n ∈ N eine wahre Aussage ergibt, für folgende Aussageform:
A(n):sn = 1+3+5+…+(2n-1) = n²
Die Vermutung kann durch Einsetzen der natürlichen Zahlen nur für endlich viele natürlich Zahlen bestätigt werden.
Zum Beweis der Algemeingültigkeit von A(n) verwendet man daher das Induktionsaxiom:
1) Induktionsanfang; die Variable n in A(n) wird mit 1 belegt, wodurch der Nachweis erbracht wird, dass A(1) eine wahre Aussage ist.
2) Schluss von n auf n+1; denn A(n+1) ist eine wahre Aussage, wenn A(n) eine wahre Aussage ist.

Induktionsvoraussetzung: A(n): sn = 1+3+5..+(2n-1)=n²
Behauptung: A(n+1): sn+1 = 1+3+5…+(2n-1) +(2n +1) = (n+1)²
Beweis: A(n+1): sn+1 = sn + (2n+1) = n² + (2n+1) = (n+1)²

Die vollständige Induktion ist somit ein deduktives Verfahren unter Zuhilfenahme des Induktionsaxoms.

Beispiele:

  1. Beweise durch vollständige Induktion: ∀n∈N: 1 + 2 + 3 + . . .  + n = 1/2 n (n+1)
  2. Beweise durch vollständige Induktion, dass 2 hoch n > n ist, für alle n ∈ N
  3. Ermittle durch vollständige Induktion die Summe wn der Innenwinkel eines konvexen n-Eckes.
  4. Untersuche, für welche n∈N die ‚Aussageform A(n): n²>2n+1 wahr ist.
  5. Untersuche, für welche natürliche Zahlen die Aussageform wahr ist: A(n): 2 hoch > n²
  6. Beweise durch vollständige Induktion, dass für jedes n ∈ N gilt: 1 + 4 + 7 + …+  (3n -2) = 1/2n (3n -1)
  7. Beweise durch vollständige Induktion, dass für jedes n ∈ N gilt: 1 + 5 + 8 + … + (4n -3) = n(2n-1)
  8. Beweise durch vollständige Induktion, dass für jedes n ∈ N gilt: 1 + 3 + 6 + 10 + … + 1/2 n (n + 1 ) = 1/6 n(n + 1)  (n + 2 )
  9. Beweise durch vollständige Induktion, dass für jedes n ∈ N gilt: 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) = 1/3 n (n+ 1) (n + 2)

Lösungen finden sich im Kommentarbereich.

 

Weblinks:
Beweistheorie
* Beweisverfahren der Mathematik
* Beweistraining (pdf) Mit dem Beweis, dass Frauen böse sind. 😉
Satz

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Cantor – KDE Frontend to Mathematical Software

sage notebook
sage notebook
Alles andere hat sich für mich erübrigt, ich habe meine CAS, dank Ubuntu, gefunden. Cantor ist einfach genial. Es bot nach der Installation aus dem Software-Center schon Qalculate, Octave, Maxima, R und Scilab an und Sage habe ich mir separat von sagemath.org installiert.
Zitat aus dem Handbuch von Cantor:
Die Module von Cantor
In Cantor stehen mehrere Module zur Auswahl, je nach Aufgabenstellung wählen Sie das am besten geeignete Modul aus.
Zur Zeit sind folgende Module vorhanden:
Sage:
Sage ist ein unter der GPL lizenziertes freies Mathematik-Software-System.Es kombiniert die Stärken vieler Open-Source-Pakete mit einer gemeinsamen Python-basierten Schnittstelle. Weitere Informationen finden Sie auf der Webseite http://sagemath.org.
Maxima:
Maxima ist ein System für die Manipulation von symbolischen und numerischen Ausdrücken, einschließlich Differenzierung, Integration, Taylorreihe, Laplace-Transformation, gewöhnliche Differentialgleichungen, lineare Gleichungssysteme, Polynome und Mengen, Listen, Vektoren, Matrizen und Tensoren. Durch exakte Brüche sowie Langzahlarithmetik und Gleitkommazahlen mit beliebiger Genauigkeit (arbitrary precision) erzeugt Maxima Ergebnisse mit hoher numerischer Präzision. Maxima kann Funktionen und Daten zwei-
und dreidimensional grafisch darstellen. Weitere Informationen finden Sie auf der Webseite http://maxima.sourceforge.net.
R:
„R“ ist eine Sprache und eine Umgebung für statistische Berechnungen und Grafiken, ähnlich zur Sprache und Umgebung „S“. Es stellt eine große Auswahl an statistischen (lineare und nicht lineare Modellierung, klassische statistische Tests, Zeitreihenanalyse, Klassifikation, Clustering, …) und grafischen Techniken bereit und lässt sich stark erweitern. Die Sprache „S“ ist oft das bevorzugte Mittel für Forschungen mit statistischer Methodologie und „R“ stellt die Open-Source-Mittel für die Teilnahme an diesen Aktivitäten bereit. Weitere Informationen finden Sie auf der Webseite http://www.r-project.org.
KAlgebra:
KAlgebra ist ein grafischen Mathematikprogramm auf der Basis von MathML. Es ist im Projekt KDE-Lernprogramme enthalten. Weitere Informationen finden Sie auf der Webseite http://edu.kde.org/kalgebra/ .
Qalculate!:
Qalculate! ist mehr als nur ein einfacher Rechner und nutzt die Schnittstellen, Rechenleistung und Flexibilität moderner Rechner aus. Der wichtigste Begriff in Qalculate! ist der Ausdruck. Anstatt jede Zahl in mathematischen Ausdrücken einzeln einzugeben, schreiben Sie den gesamten Ausdruck und bearbeiten ihn dann. Die Interpretation der Ausdrücke ist flexibel und fehlertolerant. Bei fehlerhaften Eingaben erhalten Sie Hinweise zur Korrektur. Nicht vollständig lösbare Ausdrücke führen aber nicht zu Fehlern, sondern diese Ausdrücke werden durch Qalculate! soweit wie möglich vereinfacht und als geänderter Ausdruck zurückgegeben. Zusätzlich zu Zahlen und arithmetischen Operatoren darf ein Ausdruck eine beliebige Kombination von Variablen, Einheiten und Funktionen enthalten. Weitere Informationen finden Sie auf http://qalculate.sourceforge.net/
Python2:
Python ist eine außergewöhnlich leistungsfähige dynamische Programmiersprache, die in vielen verschiedenen Anwendungsbereichen benutzt wird. Es gibt mehrere Python-Pakete für wissenschaftliche Programmierung. Python wird unter der „Python Software Foundation“-Lizenz (kompatibel zur GPL) verbreitet. Weitere Informationen dazu finden Sie auf offiziellen Webseite.“
Zitat Ende

Ubuntu, Cantor und die Mathe-Module sind einfach genial.

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Axiom, ein weiteres Computer Algebra System (CAS) auf Ubuntu

Beginnt bitte nicht mir der Installation, bevor ihr den ganzen Artikel gelesen habt.
Nach Mathics habe ich mir Axiom installiert und etwas angesehen. Ursprünglich plante ich zwar, Mathics, Axiom und Maxima ein wenig unter die Lupe zu nehmen, aber jetzt bin ich mir da nicht mehr so sicher, ob ich überhaupt jemals zu Maxima kommen werde. Schon die elegante und professionelle Installation hat mich beeindruckt, die auf meinem Ubuntu, wie folgt aussah:
Zitat von Axiom:

echo 0 >/proc/sys/kernel/randomize_va_space
apt-get install m4 libxpm-dev libxt-dev libx11-dev
apt-get install libxext-dev gettext git-core texlive gawk texlive-fonts-extra
git clone git://github.com/daly/axiom.git
cd axiom
export AXIOM=`pwd`/mnt/ubuntu
export PATH=$AXIOM/bin:$PATH
make

Also note that Ubuntu ships a broken xterm setting for the emacs alt key
where alt is supposed to be meta. Add the following line
XTerm*metaSendsEscape: true
in your .Xresources file

Zuerst ASLR auf statisch setzten, dann geht es los mit der Installation, wobei mann für texlive und das Git Repository schon ein wenig Platz bereithalten darf.

firefox front end
firefox front end
Mit LISP habe ich vor langer Zeit ein wenig herum gespielt, aber dann habe ich die Programmiersprache wieder aus den Augen verloren. Jetzt gibt es ein freudiges Wiedersehen. Darüber hinaus, wird hier endlich wieder einmal ein Programm bei der Installation direkt aus dem Source kompiliert, was heute immer seltener wird (es werden auf der Download-Seite aber auch vorkompilierte binaries angeboten.
Ein freies, kostenloses CAS mit BSD Lizenz und einer guten Dokumentation bzw. hier das online Buch, was will man noch mehr, wenn man ein CAS benutzen möchte?

So, die CPU glüht und der Compiler hat seine Arbeit getan. Jetzt wird getestet und gespielt und die Dokumentation über das Firefox front end studiert.
ubuntu_axiom
Nein, das kann doch nicht sein, ich hätte mir alles ersparen können, denn Ubuntu hat Axiom im Software-Center. Ein Klick auf installieren hätte genügt und ich ziehe die Software aus dem Software-Center sogar vor, da ich mich dann nicht um Updates kümmern muss. Also alles zurück deinstallieren, löschen und dann auf „installieren“ klicken.
Was habt ihr daraus gelernt? Seht immer zuerst nach, ob euer System die SW bereit stellt, auch wenn ihr es nicht erwartet. 😉
Gut jetzt habe ich Axiom und OpenAxiom über das System installiert und ein wenig damit gespielt. Die Oberfläche ist gewöhnungsbedürftig und ein wenig enttäuschend, weshalb ich mir nun doch auch noch Maxima und Sage ansehe, bevor ich mir die Beispiele genauer ansehe.
Nun, was denkt ihr, mache ich dazu wohl als erstes?

Weblinks:
Axiom Homepage des CAS
Was ist ein Axiom eigentlich? Axiom (Wikipedia)
How Effective is ASLR on Linux Systems?
How can I temporarily disable ASLR (Address space layout randomization)?
OpenAxiom: The Open Scientific Computation Platform

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Mathics, das freie CAS (computer algebra systems)

Mathics (Link zu mathics.net) finde ich wirklich sehr beeindruckend; siehe dazu auch mathics.org.

Mathics is a free, general-purpose online computer algebra system featuring Mathematica-compatible syntax and functions. It is backed by highly extensible Python code, relying on SymPy for most mathematical tasks.

Ich bin wieder einmal über Mathematica (Wolfram Language) gestolpert und denke, dass es sich dabei bestimmt um gute SW handelt, die zu Recht vermarktet wird. Aber solange ich Open Source SW oder noch besser FOSS bzw. FLOSS (free and open source SW) bekommen kann, nütze ich natürlich diese. Open Source ist mir persönlich noch wichtiger, als free, denn ich will wissen, was „mein“ Programm macht, bw. wenigstens die Chance haben, es heraus finden zu können.

Nachdem ich von den auf Wikipedia gelisten CAS (List of computer algebra systems) einige versucht habe, fand ich Mathics und bin recht begeistert von dem Projekt.

Axiom sehe ich mir noch näher an und Maxima, aber prinzipiell bin ich überrascht, welche Schätze man findet, wenn man sich einmal vertippt und statt nach „CAD“ nach „CAS“ sucht. 😉

Diese Kriterien für eine KI muss ich mir hier noch notieren, auch wenn sie nichts mit Mathics zu tun haben:
Die Fähigkeit zur Verarbeitung beliebiger Symbole (nicht nur Zahlen).
Der Aufbau eines inneren Modells der äußeren Welt, eines Selbstmodells, sowie der jeweils aktuellen Beziehung von Selbst und Welt.
Die Fähigkeit zu einer zweckentsprechenden Anwendung des Wissens.
Die Fähigkeit, die im gespeicherten Wissen enthaltenen Zusammenhänge aufzudecken, d. h. logisch schlussfolgern zu können.
Die Fähigkeit zur Verallgemeinerung (Abstraktion) und zur Spezialisierung (d. h. zu Anwendung allgemeiner Zusammenhänge auf konkrete Sachverhalte).
Das Vermögen, erworbenes Wissen und vorhandene Erfahrung auf neue, bisher unbekannte Situationen zu übertragen.
Die Fähigkeit, sich planvoll zu verhalten und entsprechende Strategien zum Erreichen der Ziele bilden zu können.
Anpassungsfähigkeit an verschiedene, u.U. sich zeitlich ändernde Situationen und Problemumgebungen.
Lernfähigkeit, verbunden mit dem Vermögen, partiellen Fortschritt oder Rückschritt einschätzen zu können.
Die Fähigkeit, auch in unscharf bzw. unvollständig beschriebenen oder erkannten Situationen handeln zu können.
Die Fähigkeit zur Mustererkennung (Besitz von Sensoren) und zur aktiven Auseinandersetzung mit der Umwelt (Besitz von Effektoren).
Über ein Kommunikationsmittel von der Komplexität und Ausdrucksfähigkeit der menschlichen Sprache verfügen.
Je mehr dieser Merkmale eine Anwendung erfüllt, desto intelligenter ist sie. Eine Anwendung, die auf dieser Skala als intelligent eingestuft werden kann, wird eher der KI als einer anderen Disziplin der Informatik zugeordnet werden können.

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