Archiv der Kategorie: Aussagenlogik

Beweise, vollständige Induktion

Ein paar Anmerkungen zum mathematischen Beweis und zur vollständigen Induktion.
Auf den Gödelschen Unvollständigkeitssatz werde ich hier nicht eingehen, obwohl es einer der wichtigsten Sätze der modernen Logik ist und mir darüber hinaus auch sehr gut gefällt, dass ich nicht ableitbar bin.
Nach der Wikipedia ist ein Beweis:

Ein Beweis ist in der Mathematik die als fehlerfrei anerkannte Herleitung der Richtigkeit bzw. der Unrichtigkeit einer Aussage aus einer Menge von Axiomen, die als wahr vorausgesetzt werden, und anderen Aussagen, die bereits bewiesen sind.

Die Peano-Axiome (auch Dedekind–Peano-Axiome oder Peano-Postulate) sind fünf Axiome, welche die natürlichen Zahlen und ihre Eigenschaften charakterisieren.
Aus der Wikipedia:

  1. 0 \in \N
  2. n \in \N \Rightarrow n'\in \N
  3. n \in \N \Rightarrow n'\not= 0
  4. m,n\in\N \Rightarrow (m' = n' \Rightarrow m = n)
  5. 0\in X \and \forall n\in \N \colon (n\in X \Rightarrow n'\in X) \Rightarrow \N \subseteq X

Das letzte Axiom heißt Induktionsaxiom, da auf ihm die Beweismethode der vollständigen Induktion beruht. Es ist äquivalent zur Aussage, dass jede Menge natürlicher Zahlen ein kleinstes Element hat. Auch garantiert es, dass Peanos rekursive Definitionen der Addition und Multiplikation auf\N überhaupt wohldefiniert sind:[3]

n+ 0 := n\,
n+ m' := (n + m)'\,
n \cdot 0:= 0
n \cdot m':= (n \cdot m) + n

Die Eins definierte Peano als Nachfolger der Null:[4]

1:=0'\,

 

Ein Satz oder Theorem ist in der Mathematik eine widerspruchsfreie logische Aussage, die mittels eines Beweises als wahr erkannt, das heißt, aus Axiomen und bereits bekannten Sätzen hergeleitet werden kann.
Ein Satz wird nach seiner Rolle, seiner Bedeutung oder seinem Kontext oft auch anders bezeichnet:
Ein Lemma ist eine Aussage, die als Hilfssatz nur im Beweis anderer Sätze verwendet wird.
Ein Korollar ist eine triviale Folgerung, die sich aus einem Satz oder einer Definition ohne großen Aufwand ergibt.
Der Satz im engeren Sinn gibt eine wesentliche Erkenntnis wieder.

Als Deduktion (deducere – ableiten, weiterführen) bezeichnet man die Folgerung einer besonderen Aussage aus einer allgemeinen. Die Deduktion liefert stets wahre Aussagen.
Jeder Autofahrer hat einen Führerschein. (allgemeine Aussage)
Hansi fährt mit dem Auto.
Hansi hat einen Führerschein. (besondere Aussage)

Als Induktion (inducere – einführen) bezeichnet man den das Erschließen einer allgemeinen Aussage aus Einzelaussagen. Die Induktion kann zu wahren oder falschen Aussagen führen. Es muss jeder Einzelfall auf Wahrheitswert überprüft werden, oder es wird ein Beweis geführt, um die Richtigkeit der Schlussfolgerung festzustellen.

Die vollständige Induktion

gründet sich auf das Induktionsaxiom (siehe oben):
Jede Teilmenge X der Menge der natürlichen Zahlen, die die Zahl 1 und mit jeder Zahl n stets ihren Nachfolger n +1 enthält, ist die Menge der natürlichen Zahlen.
1) 1 ∈ X
2) ∀n∈N:n∈X⇒(n+1)∈X
Daraus folgt X=N

Beweisverfahren der vollständigen Induktion:
Beispiel: ermitteln Sie die Summer der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen!
A1: s1 = 1 …… = 1 = 1²
A2: s2 = 1 +3 … = 4 = 2²
A3: s3 = 1 +3 +5 = 9 = 3²
Es ergibt sich die Vermutung, dass sich für jedes n ∈ N eine wahre Aussage ergibt, für folgende Aussageform:
A(n):sn = 1+3+5+…+(2n-1) = n²
Die Vermutung kann durch Einsetzen der natürlichen Zahlen nur für endlich viele natürlich Zahlen bestätigt werden.
Zum Beweis der Algemeingültigkeit von A(n) verwendet man daher das Induktionsaxiom:
1) Induktionsanfang; die Variable n in A(n) wird mit 1 belegt, wodurch der Nachweis erbracht wird, dass A(1) eine wahre Aussage ist.
2) Schluss von n auf n+1; denn A(n+1) ist eine wahre Aussage, wenn A(n) eine wahre Aussage ist.

Induktionsvoraussetzung: A(n): sn = 1+3+5..+(2n-1)=n²
Behauptung: A(n+1): sn+1 = 1+3+5…+(2n-1) +(2n +1) = (n+1)²
Beweis: A(n+1): sn+1 = sn + (2n+1) = n² + (2n+1) = (n+1)²

Die vollständige Induktion ist somit ein deduktives Verfahren unter Zuhilfenahme des Induktionsaxoms.

Beispiele:

  1. Beweise durch vollständige Induktion: ∀n∈N: 1 + 2 + 3 + . . .  + n = 1/2 n (n+1)
  2. Beweise durch vollständige Induktion, dass 2 hoch n > n ist, für alle n ∈ N
  3. Ermittle durch vollständige Induktion die Summe wn der Innenwinkel eines konvexen n-Eckes.
  4. Untersuche, für welche n∈N die ‚Aussageform A(n): n²>2n+1 wahr ist.
  5. Untersuche, für welche natürliche Zahlen die Aussageform wahr ist: A(n): 2 hoch > n²
  6. Beweise durch vollständige Induktion, dass für jedes n ∈ N gilt: 1 + 4 + 7 + …+  (3n -2) = 1/2n (3n -1)
  7. Beweise durch vollständige Induktion, dass für jedes n ∈ N gilt: 1 + 5 + 8 + … + (4n -3) = n(2n-1)
  8. Beweise durch vollständige Induktion, dass für jedes n ∈ N gilt: 1 + 3 + 6 + 10 + … + 1/2 n (n + 1 ) = 1/6 n(n + 1)  (n + 2 )
  9. Beweise durch vollständige Induktion, dass für jedes n ∈ N gilt: 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) = 1/3 n (n+ 1) (n + 2)

Lösungen finden sich im Kommentarbereich.

 

Weblinks:
Beweistheorie
* Beweisverfahren der Mathematik
* Beweistraining (pdf) Mit dem Beweis, dass Frauen böse sind. 😉
Satz

(2077)

Normalformen

Zuerst Beispiele für ein Literal,  Minterm und Maxterm
Literal = eine negierte oder nicht negierte Aussagenvariable.
Minterm = eine Konjunktion von (nicht unbedingt verschiedenen) Literalen.
Maxterm = eine Disjumnktion von Literalen.

Disjunktive Normalform (DNF)

Eine DNF ist eine Disjunktion von Mintermen, wie z. B. (p∧¬q∧w)∨(r∧s∧¬t)∨(s∧s∧f)

Konjunktive Normalform (KNF)

Eine KNF ist eine Konjunktion von Maxtermen, wie z. B.  (p∨¬q∨p∨f)∧(r∨s)∧t

Eine Basiskonjunktion ist ein Minterm, der alle gegebenen Aussagevariablen genau einmal als Literal (aber weder „w“ noch „f“) enthält.

Eine Basisdisjunktion ist ein Maxterm, der alle gegebenen Aussagevariablen genau einmal als Literal (ohne „w“ und „f“) enthält.

Für die Variablen p, q, r wäre also p∧¬q∧r eine Basiskonjunktion  und p∨q∨¬r eine Basisdisjunktion.

Eine kanonisch (ausgezeichnete) DNF (KDNF) ist eine disjunktive Verknüpfung von Basiskonjunktionen, bei der jede Basiskonjunktion höchstens einmal auftritt.

Eine kanonisch (ausgezeichnete) KNF (KKNF) ist eine konjunktive Verknüpfung von Basisdisjunktionen, bei der jede Basisdisjunktion höchstens einmal auftritt.

Die Konstante f alleine ist auch eine DNF bzw. w eine KNF.

Zu jeder aussagelogischen Formel gibt es eine KDNF (KKNF), die zu dieser äquivalent ist.

Beispiel:

Gesucht ist eine KDNF, die äquivalent ist zu: ¬(¬p→q)∨r

1) Wahrheitstafel erstellen

rot ist die Negation von p; türkis die Implikation, welche nur bei w →f falsch ist, sonst immer wahr; amber ist die Negation des Klammerinhalts, die mit r verknüpft wird.

p q r ¬(¬p→q) ∨r
w w w f (w) f  w  1
w w f (w) f  f
w f w (w) f  w  2
w f f (w) f  f
f w w (w) f  w  3
f w f (w) f f
f f w w (f) w  w  4
f f f w (f) w  w  5

Es gibt 5 Ergebnisse mit „w“ aus diesen Zeilen können die Literale übernommen werden, wenn die Voraussetzung  „w“ war, sonst wird die Negation übernommen, weil eine Basiskonjunktion nur dann wahr ist, wenn alle Literale wahr sind. Mit einer Konjugation ergeben sich die Basiskonjunktionen und wenn disjunktiv verknüpft werden, erhält man eine KDNF. Eine Disjunktion von Basiskonjunktionen ist genau dann wahr, wenn mindestens eine Basiskonjunktion wahr ist.

Zeile p q r Literale Basiskonjunktion
 1 w w w p q r p∧q∧r
 2  w  f  w  p  ¬q  r  p∧¬q∧r
 3  f  w  w  ¬p  q  r ¬p∧q∧r
 4  f  f  w  ¬p  ¬q  r  ¬p∧¬q∧r
 5  f  f  f  ¬p  ¬q  ¬r ¬ p∧¬q∧¬r

 

KDNF: (p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨( ¬p∧¬q∧r)∨(¬ p∧¬q∧¬r)

Die KDNF hat genau die gleichen Wahrheitswerte wie die gegebene Formel und ist damit äquivalent zu ihr. Wenn in der Resultatsspalte nur „f“ vorkommen, dann ist „f“ die KDNF.

Bei den Verfahren zur Bildung der KKNF bzw. KDNF werden „und“ mit „oder“ und „f“ mit „w“ bzw. umgekehrt vertauchst, wie bei den Gesetzten von De Morgan, den Distributiv- und Verschmelzungsgesetzen, weil wegen des Dualitätsprinzips gilt:

Sind zwei Ausdrücke a und b, in denen nur die Junktoren ¬, ∧, und ∨ vorkommen äquivalent, dann sind auch die Formeln, die aus a und b dadurch entstehen, dass alle ∧ durch ∨, ∨ durch ∧, w durch f und f durch w erstetzt werden.

Z. B.: a ∧w↔a  es gilt daher auch a∨ f↔a

 

(620)

Ein- und Ersetzung, wichtige Äquivalenzen und Tautologien

Bei aussagenlogischen Formel sind aussagenlogisch indeterminiert, oder es handelt sich um Tautologien oder Kontradiktionen.
.) Tautologie – (immer wahr) wenn die Aussage unabhängig von ihren Variablen wahr ist. Z. B. (p→p)↔(¬q∨q)
.) Kontradiktion – (immer falsch) ist unabhängig von ihren Variablen falsch. Z. B. (p↔¬p)∨(r∧¬r)
.) Aussagenlogisch Indeterminiert – wenn die Aussage für mindestens eine Belegung der Variablen wahr und für mindestens eine Belegung falsch ist. Z. B. p→q∨r
Tautologien und aussagenlogisch indeterminierte Aussagen werden auch als erfüllbare Aussagen bezeichnet.
In der Aussagenlogik ist man u.a. an der Charakterisierung und Erzeugung von Tautologien interessiert.

Die Einsetzung

a[p/b] ist die Formel die aus a entsteht, wenn für jedes Vorkommen der Variable p in der Aussage a durch die Formel b eingesetzt wird.
Z. B.: a:  p→q→p
b: (r∨s)
a[p/b]: (r∨s)→q→(r∨s)
Einsetzungstheorem – Ist a eine Tautologie bzw. eine Kontradiktion, dann ist es auch a[p/b].
Durch Einsetzen wird aus einer Tautologie wieder eine Tautologie, bzw. aus einer Kontradiktion eine Kontradiktion.

Ersetzung

I) Jede Formel a ist Teilformel von sich selbst.
II) Ist a eine zusammengesetzte Formel, z. B. ¬b, b∨c, b→c, usw. dann sind auch b und c Teilformeln von a.
III) Jede Teilformel einer Teilformel von a ist ebenfalls eine Teilformel von a.

Z. B.:  a:  p→((¬q∨r)→s)

Teilformeln:
lt I) p→((¬q∨r)→s)
lt II) p, (¬q∨r)→s
lt III) ¬q∨r, s
lt III) ¬q∨r, s
lt III) ¬q, r
lt III) q
Ersetzungen sind mehrdeutig. 2 Formeln a und b sind äquivalent oder logisch gleich, wenn die Formel a↔b eine Tautologie ist.
Es gilt das Ersetzungstheorem:
Wenn b↔c ist, dann ist a↔a[[b/c]]
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(840)

Aussagen, Verknüpfungen und Wahrheitstafeln

Wichtige Verknüpfungen und Wahrheitstabellen im Vergleich mit der Schaltalgebra

In Schaltkreisen dienen Schalter zum Öffnen und Schließen von Kontakten. Sie können genau zwei Werte annehmen:
0 … kein Strom; Schalter bzw. Stromkreis offen
L oder 1 …. Strom; Schalter bzw. Stromkreis geschlossen
Schalter müssen nicht immer unabhängig voneinander wirken, sondern können so gekoppelt sein, dass sie gleichzeitig den gleichen oder den umgekehrten Zustand einnehmen. Solche Schalter werden mit den gleichen Buchstaben z. B. „P“ gekennzeichnet, wenn sie den gleichen Zustand (Wert) aufweisen oder mit „P'“, wenn sie den Gegenteiligen Zustand aufweisen. Daher kann die Aussage ¬p den Sätzen „der Schalter P ist offen“ bzw.  „der Schalter P‘ ist geschlossen“ entsprechen.

Zusammenhänge zwischen Aussagenlogik und Schaltkreisen
Aussagenlogik Schaltkreise
Aussagenvariable Schalter
aussagenlogischer Ausdruck Schaltkreis
wahr (w) Schalter geschlossen, (L,1)
falsch (f) Schalter geöffnet (0)
Wahrheitsverlauf Schaltfunktion
Disjunktion Parallelschaltung
Konjunktion Serienschaltung
Negation gegenteiliger Schalterzustand

Die Negation ¬ (NOT)

Mit dem wichtigen einstelligen Junktor „¬“.

a (¬a)
w f
f w

Bsp: Alle Menschen sind sterblich.
Es ist nicht wahr, dass alle Menschen sterblich sind.   –  richtige Verneinung
Alle Menschen sind nicht sterblich. – falsche Verneinung
Im österreichischen Dialekt wird die doppelte Verneinung auch als Verstärkung gebraucht, was aussagenlogisch nicht möglich ist.
„Nicht einmal ignorieren“ bedeutet aussagenlogisch also „beachten“.

schalter1

negation

Wie  bereits oben erwähnt, können Schalter  so verbunden sein, dass der Schalter P‘ geöffnet ist, wenn der Schalter P geschlossen ist, also den konträren Zustand aufweist und damit der Negation entspricht.

Konjunktion ∧ (AND)

Der Junktor „∧“ entspricht dem „und“ bzw. „sowohl als auch“.

a b (a∧b)
w w w
w f f
f w f
f f f

Wenn eine Aussage „a“ wahr ist und die Aussage „b“ falsch, dann ist die Aussage (a∧b) falsch.
Man kann sich leicht merken, dass die Konjunktion nur dann wahr ist, wenn beide Aussagen wahr sind.
Darstellung einer Serienschaltung mit 2 Schaltern, die einer Konjunktion entspricht.
serienschaltung
Es müsen beide Schalter (P und Q) den Wert „w“ bzw. „L“ oder „1“ aufweisen, also geschlossen sein, damit Strom fließt, bzw. damit die Konjunktion wahr wird.
In den Programmiersprachen C++, Java, PHP, Assembler x86 u. a. kann man „& (für einzelne Bits) bzw. &&“ für die Konjunktion verwenden, in Perl, Lisp oder Ruby kann man auch direkt „and“ schreiben und in Prolog genügt ein „,“ Beistrich.

Disjunktion ∨ (OR)

Der Junktor „∨“ entspricht dem einschließenden „oder“  lat. „vel“.

a b (a∨b)
w w w
w f w
f w w
f f f

Einer Dissjunktion wir nur dann falsch zugeordnet, wenn beide Aussagen falsch sind, sonst immer wahr.

Die Dissjunktion entspricht der Parallelschaltung in der Schaltalgebra.

parallel - 1

Alternative oder Antivalenz ⊻  (XOR)

Der Junktor „“ entspricht dem ausschließenden „oder“ lat. „ut“.
Die Dissjunktion Entspricht in der Schaltalgebra der Parallelschaltung.

a b (a⊻b)
w w f
w f w
f w w
f f f

Die Alternative ist nur wahr, wenn der Wahrheitswert beider Aussagen unterschiedlich ist.

Äquivalnez ↔

Der Junktor „↔“ entspricht dem „genau dann, wenn“.

a b (a↔b)
w w w
w f f
f w f
f f w

Die Äquivalenz ist wahr, wenn beide Aussagen den gleichen Wahrheitswert aufweisen.

Implikation → (AND)

Der Junktor „→“ entspricht dem „wenn – dann“.

a b (a→b)
w w w
w f f
f w w
f f w

Die Implikation wird auch Subjunktion genannt und ist eine sehr wichtige Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Aussage vor dem Pfeil (links) ist die Prämisse (Vorraussetzung, Vorderglied) und die Aussage auf der rechten Seite, also wo der Pfeil hin zeigt, ist die Konklusion (Schluss, Hinerglied).
Die Implikation ist nur falsch, wenn die Prämisse richtig und die Konklusion falsch ist.
Sinnlos, aber aussagenlogisch richtig wäre zum Beispiel:
Wenn ein Viereck rund wäre, wäre 4 kleiner als 2.
Wenn meine Oma Räder hätte, wäre sie ein Autobus.

Junktorenbasis und Minimalbasen

Eine Junktorenbasis ist eine Anzahl an Junktoren, mit deren Hilfe sich alle anderen Junktoren darstellen lassen.
1) ¬, ∧, ∨, →, ↔  … in der Aussagenlogik (daher sind diese Junktoren bedeutsam

2) ¬, ∧, ∨ … in der Schaltalgebra

3) ¬, ∧

4) ¬, ∨

5)  ¬,  → in der Beweistheorie
Junktornenbasen bei denen kein Junktor mehr gestrichen werden kann, nennt man Minimalbasen, wie oben 3, 4 und 5.
NOR ↓ und NAND ↑ bilden jeweils für sich alleine eine Junktorenbasis.

NOR ↓

 

p p↓q
w f
f w

Der Junktor NOR (Nicod’sche Funktion oder Peirce-Operator) wird durch „weder -noch“ ausgedrückt.

 

 NAND ↑

p p↑p
w f
f w

Der Junktor NAND (Shefferstrich oder Exklusion) wird auch oft durch „/“ dargestellt.

Dadurch lässt sich jeweils die Negation darstellen

¬q ↔q ↑q

Damit lassen sich Konjunktion und Disjunktion darstellen. Man kann Umformungen vornehmen, sodass man mit speziellen Junktoren auskommt, was vor allem in der Schaltalgebra wichtig ist, da manche Junktoren nicht leicht umgesetzt werden können.

Man kann zum Beispiel den Ausdruck p→q in einen äquivalenten Ausdruck umwandeln, der nur ↑ enthält:

p→q↔¬(p∧¬q)
p→q↔¬(p∧(q↑q)
p→q↔p↑(q↑q) Definition von NAND

Dazu ein Programm in Java unter GPL und mit Source erhältlich:
TRUTH TABLE SOLVER

is a program that solves the truth table and output all the possible minimized boolean expressions. It uses Quine-McCluskey algorithm (Tabulation method) for boolean minimization.It has an easy to use GUI that can solve up to 16 terms functions. It has a command line mode with no number of terms restriction,but be aware that the program might be slow for big number of terms. It has the option „one solution“ which give one minimized solution very fast.You can chose the solution to be „sum of products“ or „product of sums“. The current release of the program is written in java.

Weblinks:
Generate LaTeX Truth Table with Python Cheetah
Wahrheitstabelle
Junktor

(1389)

Aussagenlogik, Einleitung

Die Lehre des logischen Schließen hat eine sehr lange Tradition und geht auf Aristoteles (384 -322 v. Chr.) zurück. Mitte 19. Jhdt löste sich die Logik aus der Philosophie zu einem eigenständigen Fachgebiet, wobei hier besonders zu nennen sind:

Die Erkenntnisse über die fundamentalen Probleme der Axiomatik, der Widerspruchsfreiheit und Vollständigkeit formaler Systeme haben die Mathematik nachhaltig beeinflusst. Die Logik wurde auch für die Informatik bedeutend: z. B. für logische Schaltkreise, Syntax und Semantik für Programmiersprachen, maschinelles Beweisen, Expertensysteme, künstliche Intelligenz, Fuzzy Logic usw.
Die klassische Logik enthält Aussagenlogik, Prädikatenlogik und den logischen Identitätsbegriff und weist zwei Kennzeichen auf (Wikipedia):

  • Jede Aussage hat einen von genau zwei Wahrheitswerten, meist „falsch“ oder „wahr“ (Prinzip der Zweiwertigkeit oder Bivalenzprinzip).
  • Der Wahrheitswert jeder zusammengesetzten Aussage ist eindeutig durch die Wahrheitswerte ihrer Teilaussagen bestimmt (Prinzip der Extensionalität oder Kompositionalität, siehe Extensionalitätsprinzip)

Das Prinzip der Zweiwertigkeit wird oft mit dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten verwechselt.

Aussagen und Aussagenverknüpfungen

Aussagen

Einer Aussage (A) muss der Wert wahr (w) oder falsch (f) zugeordnet werden können. Somit sind Frage- und Befehlssätze, sowie sinnlose Wortfolgen keine Aussagen. Aussagen die Variablen enthalten, werden als Aussageform bezeichnet.

Beispiele für Aussagen:
A1 Der Kaktus ist eine Pflanze. – Wahrheitswert w
A2 Der Wal ist ein Fisch. – Wahrheitswert f
A3 Wie spät ist es? – keine Aussage
A2 a liegt an der Donau. – Aussageform, geht erst durch belegen der Variable in eine Aussage über. Z. B. a = Wien, dann ist der Wahrheitswert w
A2 Es gibt stetige, nicht differenzierbare Funktionen. – Wahrheitswert w
A2 2 + 4 = 6 – Wahrheitswert w
A2 x + 3 = 8 – keine Aussage; wird x der Wert 5 zugewiesen, handelt es sich um eine wahre Aussage, wir x der Wert 1 zugewiesen, ist der Wahrheitswert f

Aussagen können durch ein-, zwei- oder mehrwertige Junktoren (aussagenlogische Operatoren) verknüpft werden.

Junktoren

Bevor ich auf einzelne Junktoren näher eingehe, zuerst einmal die ((Allgemein gibt es für eine m-wertige Logik, d. h. für eine Logik mit endlich vielen Wahrheitswerten, deren Anzahl m ist, m^{m^{n}} n-stellige wahrheitsfunktionale Junktoren. Für die zweiwertige Aussagenlogik gibt es also 2^{2^{1}}=4 einstellige Junktoren und 2^{2^{2}}=16 zweistellige Junktoren. Schon für die dreiwertige Aussagenlogik gibt es 3^{3^{1}}=27 einstellige und 3^{3^{2}}=19.683 zweistellige Junktoren. Zitat aus der Wikipedia.)) sechzehn möglichen zweistelligen Junktoren der zweiwertigen Logik in einer Tabelle von Wikipedia.

Die wichtigsten Junktoren in der Reihenfolge nach stärke ihrer Bindung. Die Negation bindet am stärksten:

  1. Klammer ()
  2. Negation neg
  3. Konjunktion and
  4. Disjunktion or
  5. Implikation Rightarrow
  6. Äquivalenz Leftrightarrow

Eine logische Formel, die keine syntaktischen Fehler aufweist und der durch eine Belegung der nicht-logischen Konstanten ein spezifischer Wahrheitswert zugewiesen werden kann, heißt auch wohlgeformte Formel .

Weblinks:

Aussagenlogik (Wikipedia)
Grundbegriffe der Aussagenlogik
Mathematik: Logik: Aussagenlogik (Wikibooks)
Exaktheit und Logik
Aussagenlogik I
Aussagenlogik (Teil 1) Youtube Video
Die sechzehn (zweistelligen) Verknüpfungen der Aussagenlogik
Junktor Wikipedia


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