Ich koche leidenschaftlich gerne, aber mit scharfen Messern macht es noch mehr Spaß. Daher habe ich mir Schleifsteine und Leder zugelegt und mir die Videos auf messermachen und vor allem die unten eingefügte Playlist (Messerschärfen – meine Tipps & Tricks) zu Gemüte geführt.
Rasieren kann ich mich mit dem Gemüsemesser zwar noch nicht, aber wenn ich noch ein wenig übe könnte es bald gelingen. An meine Gäste: “Keine Angst ich mache das nicht wirklich, dazu benutze ich schon mein Rasiermesser.”
Der Mengenbegriff und der Abbildungsbegriff ist für den Aufbau und die Entwicklung mathematischer Disziplinen essenziell.
Daher beginne ich auch mit Mathematischer Logik (Aussagen- und Prädikatenlogik), Beweise in der Mathematik, Mengenlehre, Relationen und Strukturen und dem Aufbau des Zahlensystems.
Die Artikel werden vor allem über das Menü und Kategorien erreichbar sein, was mir eine bessere Übersicht verschafft.
Aller Anfang ist leicht, wenn man den richtigen Zugang findet, daher zuerst 3 Videos, die den Anfang erleichtern können, weil man die einführende Ausführung eindeutig nicht nicht-verstehen kann:
Auf das “ut” will ich künftig aber nicht verzichten, sondern es gleichberechtigt zu “vel” behandeln und damit gehe ich über zur Einleitung in die Aussagenlogik.
Wikipedia: Rotkäppchen (auch Rotkäppchen und der (böse) Wolf, im österreichischen Burgenland und Ungarn auch Piroschka, von ungarisch piros: rot) ist ein europäisches Märchen vom Typ ATU 333. Es steht in den Kinder- und Hausmärchen der Brüder Grimm als Rothkäppchen an Stelle 26 (KHM 26) und geht durch mündliche Weitergabe über Johanna und Marie Hassenpflug auf Charles Perraults Le Petit Chaperon rouge in Contes de ma Mère l’Oye (1695/1697) zurück. Ludwig Bechstein übernahm das Märchen 1853 von den Brüdern Grimm in sein Deutsches Märchenbuch als Das Rotkäppchen..
Dabei gehen die beiden ersten literarischen Rotkäppchenversionen auf Charles Perrault aus dem Jahr 1695 zurück. Das Kindermärchen Rotkäppchen und der böse Wolf kenne ich schon aus meiner Kindheit, wobei eine Version damit endete, dass Rotkäppchen vom bösen gefressen wurde und bei der anderen wurden Großmutter und Rotkäppchen von einem Jäger gerettet und der böse Wolf getötet, indem man ihm Steinen in den Bauch operierte und er damit in den Brunnen viel.
Ich habe dann auch noch von Grimms Märchen Update 1.2 Der Wolf und das böse Rotkäppchen (Moderne Märchen) 
und Rotkäppchen und der böse Wolf (Agatha Christie )
gehört, aber das Märchen der Gebrüder Grimm, wie hier zu lesen “Rotkäppchen (grimmstories)”, gefiel mir doch besser.
Unlängst kam ich auf “Rotkäppchen und der Stress” vom Psychiater und Philosoph Manfred Spitzer. Die Kurzbeschreibung von Amazon dazu:
Das böse Rotkäppchen und der Stress mit dem Wolf weiterlesen
In Schaltkreisen dienen Schalter zum Öffnen und Schließen von Kontakten. Sie können genau zwei Werte annehmen:
0 … kein Strom; Schalter bzw. Stromkreis offen
L oder 1 …. Strom; Schalter bzw. Stromkreis geschlossen
Schalter müssen nicht immer unabhängig voneinander wirken, sondern können so gekoppelt sein, dass sie gleichzeitig den gleichen oder den umgekehrten Zustand einnehmen. Solche Schalter werden mit den gleichen Buchstaben z. B. “P” gekennzeichnet, wenn sie den gleichen Zustand (Wert) aufweisen oder mit “P'”, wenn sie den Gegenteiligen Zustand aufweisen. Daher kann die Aussage ¬p den Sätzen “der Schalter P ist offen” bzw. “der Schalter P’ ist geschlossen” entsprechen.
| Aussagenlogik | Schaltkreise |
| Aussagenvariable | Schalter |
| aussagenlogischer Ausdruck | Schaltkreis |
| wahr (w) | Schalter geschlossen, (L,1) |
| falsch (f) | Schalter geöffnet (0) |
| Wahrheitsverlauf | Schaltfunktion |
| Disjunktion | Parallelschaltung |
| Konjunktion | Serienschaltung |
| Negation | gegenteiliger Schalterzustand |
Mit dem wichtigen einstelligen Junktor “¬”.
| a | (¬a) |
| w | f |
| f | w |
Bsp: Alle Menschen sind sterblich.
Es ist nicht wahr, dass alle Menschen sterblich sind. – richtige Verneinung
Alle Menschen sind nicht sterblich. – falsche Verneinung
Im österreichischen Dialekt wird die doppelte Verneinung auch als Verstärkung gebraucht, was aussagenlogisch nicht möglich ist.
“Nicht einmal ignorieren” bedeutet aussagenlogisch also “beachten”.
Wie bereits oben erwähnt, können Schalter so verbunden sein, dass der Schalter P’ geöffnet ist, wenn der Schalter P geschlossen ist, also den konträren Zustand aufweist und damit der Negation entspricht.
Der Junktor “∧” entspricht dem “und” bzw. “sowohl als auch”.
| a | b | (a∧b) |
| w | w | w |
| w | f | f |
| f | w | f |
| f | f | f |
Wenn eine Aussage “a” wahr ist und die Aussage “b” falsch, dann ist die Aussage (a∧b) falsch.
Man kann sich leicht merken, dass die Konjunktion nur dann wahr ist, wenn beide Aussagen wahr sind.
Darstellung einer Serienschaltung mit 2 Schaltern, die einer Konjunktion entspricht.
Es müsen beide Schalter (P und Q) den Wert “w” bzw. “L” oder “1” aufweisen, also geschlossen sein, damit Strom fließt, bzw. damit die Konjunktion wahr wird.
In den Programmiersprachen C++, Java, PHP, Assembler x86 u. a. kann man “& (für einzelne Bits) bzw. &&” für die Konjunktion verwenden, in Perl, Lisp oder Ruby kann man auch direkt “and” schreiben und in Prolog genügt ein “,” Beistrich.
Der Junktor “∨” entspricht dem einschließenden “oder” lat. “vel”.
| a | b | (a∨b) |
| w | w | w |
| w | f | w |
| f | w | w |
| f | f | f |
Einer Dissjunktion wir nur dann falsch zugeordnet, wenn beide Aussagen falsch sind, sonst immer wahr.
Die Dissjunktion entspricht der Parallelschaltung in der Schaltalgebra.
Der Junktor “⊻” entspricht dem ausschließenden “oder” lat. “ut”.
Die Dissjunktion Entspricht in der Schaltalgebra der Parallelschaltung.
| a | b | (a⊻b) |
| w | w | f |
| w | f | w |
| f | w | w |
| f | f | f |
Die Alternative ist nur wahr, wenn der Wahrheitswert beider Aussagen unterschiedlich ist.
Der Junktor “↔” entspricht dem “genau dann, wenn”.
| a | b | (a↔b) |
| w | w | w |
| w | f | f |
| f | w | f |
| f | f | w |
Die Äquivalenz ist wahr, wenn beide Aussagen den gleichen Wahrheitswert aufweisen.
Der Junktor “→” entspricht dem “wenn – dann”.
| a | b | (a→b) |
| w | w | w |
| w | f | f |
| f | w | w |
| f | f | w |
Die Implikation wird auch Subjunktion genannt und ist eine sehr wichtige Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Aussage vor dem Pfeil (links) ist die Prämisse (Vorraussetzung, Vorderglied) und die Aussage auf der rechten Seite, also wo der Pfeil hin zeigt, ist die Konklusion (Schluss, Hinerglied).
Die Implikation ist nur falsch, wenn die Prämisse richtig und die Konklusion falsch ist.
Sinnlos, aber aussagenlogisch richtig wäre zum Beispiel:
Wenn ein Viereck rund wäre, wäre 4 kleiner als 2.
Wenn meine Oma Räder hätte, wäre sie ein Autobus.
Eine Junktorenbasis ist eine Anzahl an Junktoren, mit deren Hilfe sich alle anderen Junktoren darstellen lassen.
1) ¬, ∧, ∨, →, ↔ … in der Aussagenlogik (daher sind diese Junktoren bedeutsam
2) ¬, ∧, ∨ … in der Schaltalgebra
3) ¬, ∧
4) ¬, ∨
5) ¬, → in der Beweistheorie
Junktornenbasen bei denen kein Junktor mehr gestrichen werden kann, nennt man Minimalbasen, wie oben 3, 4 und 5.
NOR ↓ und NAND ↑ bilden jeweils für sich alleine eine Junktorenbasis.
| p | p↓q |
| w | f |
| f | w |
Der Junktor NOR (Nicod’sche Funktion oder Peirce-Operator) wird durch “weder -noch” ausgedrückt.
| p | p↑p |
| w | f |
| f | w |
Der Junktor NAND (Shefferstrich oder Exklusion) wird auch oft durch “/” dargestellt.
Dadurch lässt sich jeweils die Negation darstellen
¬q ↔q ↑q
Damit lassen sich Konjunktion und Disjunktion darstellen. Man kann Umformungen vornehmen, sodass man mit speziellen Junktoren auskommt, was vor allem in der Schaltalgebra wichtig ist, da manche Junktoren nicht leicht umgesetzt werden können.
Man kann zum Beispiel den Ausdruck p→q in einen äquivalenten Ausdruck umwandeln, der nur ↑ enthält:
p→q↔¬(p∧¬q)
p→q↔¬(p∧(q↑q)
p→q↔p↑(q↑q) Definition von NAND
Dazu ein Programm in Java unter GPL und mit Source erhältlich:
TRUTH TABLE SOLVER
is a program that solves the truth table and output all the possible minimized boolean expressions. It uses Quine-McCluskey algorithm (Tabulation method) for boolean minimization.It has an easy to use GUI that can solve up to 16 terms functions. It has a command line mode with no number of terms restriction,but be aware that the program might be slow for big number of terms. It has the option “one solution” which give one minimized solution very fast.You can chose the solution to be “sum of products” or “product of sums”. The current release of the program is written in java.
Weblinks:
Generate LaTeX Truth Table with Python Cheetah
Wahrheitstabelle
Junktor
Habe beschlossen meine Notizen für Mathematik in ein eigenes Blog auszulagern auf mathematik.hirner.at, da ich mir hier ohnehin schon Notizen zu allen möglichen und unmöglichen Themen anlege. Um einen besseren Überblick zu bekommen wird auch noch ein “Informatik Notizen” folgen. Die alten Artikel der Kategorie “Mathe” und “EDV” bleiben hier, nur die total kaputten (wegen diverser Umsiedlungen wurden alle Tabellen und Skizzen zerstört und die Bilder fehlen) Artikel zur Graphentheorie werde ich hier noch löschen. Das neue Blog ist auch schon über das Navigationsmenü erreichbar.
Ja, früher konnte ich gut Kopfrechnen, aber Mathematik interessierte mich nicht besonders und jetzt ist es umgekehrt. Besonders auch wegen der guten Open Source CAS unter Linux.
