Aussagen, Verknüpfungen und Wahrheitstafeln

Wichtige Verknüpfungen und Wahrheitstabellen im Vergleich mit der Schaltalgebra

In Schaltkreisen dienen Schalter zum Öffnen und Schließen von Kontakten. Sie können genau zwei Werte annehmen:
0 … kein Strom; Schalter bzw. Stromkreis offen
L oder 1 …. Strom; Schalter bzw. Stromkreis geschlossen
Schalter müssen nicht immer unabhängig voneinander wirken, sondern können so gekoppelt sein, dass sie gleichzeitig den gleichen oder den umgekehrten Zustand einnehmen. Solche Schalter werden mit den gleichen Buchstaben z. B. „P“ gekennzeichnet, wenn sie den gleichen Zustand (Wert) aufweisen oder mit „P'“, wenn sie den Gegenteiligen Zustand aufweisen. Daher kann die Aussage ¬p den Sätzen „der Schalter P ist offen“ bzw.  „der Schalter P‘ ist geschlossen“ entsprechen.

Zusammenhänge zwischen Aussagenlogik und Schaltkreisen
Aussagenlogik Schaltkreise
Aussagenvariable Schalter
aussagenlogischer Ausdruck Schaltkreis
wahr (w) Schalter geschlossen, (L,1)
falsch (f) Schalter geöffnet (0)
Wahrheitsverlauf Schaltfunktion
Disjunktion Parallelschaltung
Konjunktion Serienschaltung
Negation gegenteiliger Schalterzustand

Die Negation ¬ (NOT)

Mit dem wichtigen einstelligen Junktor „¬“.

a (¬a)
w f
f w

Bsp: Alle Menschen sind sterblich.
Es ist nicht wahr, dass alle Menschen sterblich sind.   –  richtige Verneinung
Alle Menschen sind nicht sterblich. – falsche Verneinung
Im österreichischen Dialekt wird die doppelte Verneinung auch als Verstärkung gebraucht, was aussagenlogisch nicht möglich ist.
„Nicht einmal ignorieren“ bedeutet aussagenlogisch also „beachten“.

schalter1

negation

Wie  bereits oben erwähnt, können Schalter  so verbunden sein, dass der Schalter P‘ geöffnet ist, wenn der Schalter P geschlossen ist, also den konträren Zustand aufweist und damit der Negation entspricht.

Konjunktion ∧ (AND)

Der Junktor „∧“ entspricht dem „und“ bzw. „sowohl als auch“.

a b (a∧b)
w w w
w f f
f w f
f f f

Wenn eine Aussage „a“ wahr ist und die Aussage „b“ falsch, dann ist die Aussage (a∧b) falsch.
Man kann sich leicht merken, dass die Konjunktion nur dann wahr ist, wenn beide Aussagen wahr sind.
Darstellung einer Serienschaltung mit 2 Schaltern, die einer Konjunktion entspricht.
serienschaltung
Es müsen beide Schalter (P und Q) den Wert „w“ bzw. „L“ oder „1“ aufweisen, also geschlossen sein, damit Strom fließt, bzw. damit die Konjunktion wahr wird.
In den Programmiersprachen C++, Java, PHP, Assembler x86 u. a. kann man „& (für einzelne Bits) bzw. &&“ für die Konjunktion verwenden, in Perl, Lisp oder Ruby kann man auch direkt „and“ schreiben und in Prolog genügt ein „,“ Beistrich.

Disjunktion ∨ (OR)

Der Junktor „∨“ entspricht dem einschließenden „oder“  lat. „vel“.

a b (a∨b)
w w w
w f w
f w w
f f f

Einer Dissjunktion wir nur dann falsch zugeordnet, wenn beide Aussagen falsch sind, sonst immer wahr.

Die Dissjunktion entspricht der Parallelschaltung in der Schaltalgebra.

parallel - 1

Alternative oder Antivalenz ⊻  (XOR)

Der Junktor „“ entspricht dem ausschließenden „oder“ lat. „ut“.
Die Dissjunktion Entspricht in der Schaltalgebra der Parallelschaltung.

a b (a⊻b)
w w f
w f w
f w w
f f f

Die Alternative ist nur wahr, wenn der Wahrheitswert beider Aussagen unterschiedlich ist.

Äquivalnez ↔

Der Junktor „↔“ entspricht dem „genau dann, wenn“.

a b (a↔b)
w w w
w f f
f w f
f f w

Die Äquivalenz ist wahr, wenn beide Aussagen den gleichen Wahrheitswert aufweisen.

Implikation → (AND)

Der Junktor „→“ entspricht dem „wenn – dann“.

a b (a→b)
w w w
w f f
f w w
f f w

Die Implikation wird auch Subjunktion genannt und ist eine sehr wichtige Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Aussage vor dem Pfeil (links) ist die Prämisse (Vorraussetzung, Vorderglied) und die Aussage auf der rechten Seite, also wo der Pfeil hin zeigt, ist die Konklusion (Schluss, Hinerglied).
Die Implikation ist nur falsch, wenn die Prämisse richtig und die Konklusion falsch ist.
Sinnlos, aber aussagenlogisch richtig wäre zum Beispiel:
Wenn ein Viereck rund wäre, wäre 4 kleiner als 2.
Wenn meine Oma Räder hätte, wäre sie ein Autobus.

Junktorenbasis und Minimalbasen

Eine Junktorenbasis ist eine Anzahl an Junktoren, mit deren Hilfe sich alle anderen Junktoren darstellen lassen.
1) ¬, ∧, ∨, →, ↔  … in der Aussagenlogik (daher sind diese Junktoren bedeutsam

2) ¬, ∧, ∨ … in der Schaltalgebra

3) ¬, ∧

4) ¬, ∨

5)  ¬,  → in der Beweistheorie
Junktornenbasen bei denen kein Junktor mehr gestrichen werden kann, nennt man Minimalbasen, wie oben 3, 4 und 5.
NOR ↓ und NAND ↑ bilden jeweils für sich alleine eine Junktorenbasis.

NOR ↓

 

p p↓q
w f
f w

Der Junktor NOR (Nicod’sche Funktion oder Peirce-Operator) wird durch „weder -noch“ ausgedrückt.

 

 NAND ↑

p p↑p
w f
f w

Der Junktor NAND (Shefferstrich oder Exklusion) wird auch oft durch „/“ dargestellt.

Dadurch lässt sich jeweils die Negation darstellen

¬q ↔q ↑q

Damit lassen sich Konjunktion und Disjunktion darstellen. Man kann Umformungen vornehmen, sodass man mit speziellen Junktoren auskommt, was vor allem in der Schaltalgebra wichtig ist, da manche Junktoren nicht leicht umgesetzt werden können.

Man kann zum Beispiel den Ausdruck p→q in einen äquivalenten Ausdruck umwandeln, der nur ↑ enthält:

p→q↔¬(p∧¬q)
p→q↔¬(p∧(q↑q)
p→q↔p↑(q↑q) Definition von NAND

Dazu ein Programm in Java unter GPL und mit Source erhältlich:
TRUTH TABLE SOLVER

is a program that solves the truth table and output all the possible minimized boolean expressions. It uses Quine-McCluskey algorithm (Tabulation method) for boolean minimization.It has an easy to use GUI that can solve up to 16 terms functions. It has a command line mode with no number of terms restriction,but be aware that the program might be slow for big number of terms. It has the option „one solution“ which give one minimized solution very fast.You can chose the solution to be „sum of products“ or „product of sums“. The current release of the program is written in java.

Weblinks:
Generate LaTeX Truth Table with Python Cheetah
Wahrheitstabelle
Junktor

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