Aussagenlogik, Einleitung

Die Lehre des logischen Schließen hat eine sehr lange Tradition und geht auf Aristoteles (384 -322 v. Chr.) zurück. Mitte 19. Jhdt löste sich die Logik aus der Philosophie zu einem eigenständigen Fachgebiet, wobei hier besonders zu nennen sind:

Die Erkenntnisse über die fundamentalen Probleme der Axiomatik, der Widerspruchsfreiheit und Vollständigkeit formaler Systeme haben die Mathematik nachhaltig beeinflusst. Die Logik wurde auch für die Informatik bedeutend: z. B. für logische Schaltkreise, Syntax und Semantik für Programmiersprachen, maschinelles Beweisen, Expertensysteme, künstliche Intelligenz, Fuzzy Logic usw.
Die klassische Logik enthält Aussagenlogik, Prädikatenlogik und den logischen Identitätsbegriff und weist zwei Kennzeichen auf (Wikipedia):

  • Jede Aussage hat einen von genau zwei Wahrheitswerten, meist „falsch“ oder „wahr“ (Prinzip der Zweiwertigkeit oder Bivalenzprinzip).
  • Der Wahrheitswert jeder zusammengesetzten Aussage ist eindeutig durch die Wahrheitswerte ihrer Teilaussagen bestimmt (Prinzip der Extensionalität oder Kompositionalität, siehe Extensionalitätsprinzip)

Das Prinzip der Zweiwertigkeit wird oft mit dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten verwechselt.

Aussagen und Aussagenverknüpfungen

Aussagen

Einer Aussage (A) muss der Wert wahr (w) oder falsch (f) zugeordnet werden können. Somit sind Frage- und Befehlssätze, sowie sinnlose Wortfolgen keine Aussagen. Aussagen die Variablen enthalten, werden als Aussageform bezeichnet.

Beispiele für Aussagen:
A1 Der Kaktus ist eine Pflanze. – Wahrheitswert w
A2 Der Wal ist ein Fisch. – Wahrheitswert f
A3 Wie spät ist es? – keine Aussage
A2 a liegt an der Donau. – Aussageform, geht erst durch belegen der Variable in eine Aussage über. Z. B. a = Wien, dann ist der Wahrheitswert w
A2 Es gibt stetige, nicht differenzierbare Funktionen. – Wahrheitswert w
A2 2 + 4 = 6 – Wahrheitswert w
A2 x + 3 = 8 – keine Aussage; wird x der Wert 5 zugewiesen, handelt es sich um eine wahre Aussage, wir x der Wert 1 zugewiesen, ist der Wahrheitswert f

Aussagen können durch ein-, zwei- oder mehrwertige Junktoren (aussagenlogische Operatoren) verknüpft werden.

Junktoren

Bevor ich auf einzelne Junktoren näher eingehe, zuerst einmal die ((Allgemein gibt es für eine m-wertige Logik, d. h. für eine Logik mit endlich vielen Wahrheitswerten, deren Anzahl m ist, m^{m^{n}} n-stellige wahrheitsfunktionale Junktoren. Für die zweiwertige Aussagenlogik gibt es also 2^{2^{1}}=4 einstellige Junktoren und 2^{2^{2}}=16 zweistellige Junktoren. Schon für die dreiwertige Aussagenlogik gibt es 3^{3^{1}}=27 einstellige und 3^{3^{2}}=19.683 zweistellige Junktoren. Zitat aus der Wikipedia.)) sechzehn möglichen zweistelligen Junktoren der zweiwertigen Logik in einer Tabelle von Wikipedia.

Die wichtigsten Junktoren in der Reihenfolge nach stärke ihrer Bindung. Die Negation bindet am stärksten:

  1. Klammer ()
  2. Negation neg
  3. Konjunktion and
  4. Disjunktion or
  5. Implikation Rightarrow
  6. Äquivalenz Leftrightarrow

Eine logische Formel, die keine syntaktischen Fehler aufweist und der durch eine Belegung der nicht-logischen Konstanten ein spezifischer Wahrheitswert zugewiesen werden kann, heißt auch wohlgeformte Formel .

Weblinks:

Aussagenlogik (Wikipedia)
Grundbegriffe der Aussagenlogik
Mathematik: Logik: Aussagenlogik (Wikibooks)
Exaktheit und Logik
Aussagenlogik I
Aussagenlogik (Teil 1) Youtube Video
Die sechzehn (zweistelligen) Verknüpfungen der Aussagenlogik
Junktor Wikipedia


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